BINOMIO DE NEWTON

Vamos a deducir la fórmula que nos permitirá elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. Esto es la forma de obtener

Para ello veamos como se van desarrollando las potencias de (a+b)

Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia

Esto es el triángulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los números combinatorios desde los de numerador 1.

O sea que cada uno de esos números corresponde al valor de un número combinatorio así:

Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los números que aparecen forman una fila simétrica, o sea el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, etc., y cada número es la suma de los dos que tiene encima.

Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un número combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente fórmula:

Por ejemplo si quiero calcular

Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias de a empiezan elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo contrario.

Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b), sus coeficientes serán la fila quinta del triángulo de Tartaglia.

Y ya podemos escribir la fórmula general del llamado binomio de Newton

que también se puede escribir de forma abreviada así:

Ejemplos:

1) Desarrollar la potencia

La fila 15 del triángulo de Tartaglia es: 1, 15, 105, 455, 1365, 3003, 5005, 6435, 6435, 5005, 3003, 1365, 455, 105, 15, 1

Que serán los valores de los coeficientes.

2) Calcular sin desarrollar el termino que ocupara el lugar 50 en el desarrollo de:

(a²+3/b)¹⁰⁰

El primer término tiene de coeficiente , el segundo , el tercero , etc.

Por tanto el término de lugar 50 será:

= 98913082887808032681188722800. =

En general el término de lugar k+1 en el desarrollo de  es

Ejercicios

3) Si el segundo término de un desarrollo de la potencia de un binomio es:  ¿Cuál es el término penúltimo? ¿Y cuál es el binomio y su potencia?

El penúltimo término será el de lugar 12, pues habrá 13 términos y vale:

El binomio y su potencia será

4) Hallar el término medio del desarrollo de

Como está elevado a 14 habrá 15 términos, por tanto el término que está en medio es el de lugar 8, tiene 7 por delante y 7 por detrás.

Vamos a desarrollarlo:

5) Escribe el término que contiene x³¹ en el desarrollo de:

El término de lugar k+1, como hemos dicho antes, tiene esta forma:

Veamos como quedan las potencias x y de y:  Dividiendo las potencias de la misma base, restando los exponentes tenemos:

Por tanto el exponente de x es 40-3k. Como queremos obtener x³¹, basta igualar 40-3k=31, de donde k=3. Se trata por tanto del término de lugar 4.

Ahora escribimos el término completo.

•se hacen unicamente utilizando las operaciones aritmeticasde suma,resta y multiplicacion asi como exponentes enteros positivos.

 

 

•polinomios

•Es una expresion constituida por un conjunto infinito de variables (no determinadas o desconocidas)  es una combinacion lineal de productos de potencia

 

•un monomio es una clase de polinomio con un unico termino pero si se considera a una constante entonces no es monomio .los elementos de un monomio : signo, coeficiente,parte literal.

 

•monomios

•es una expresion algebraicaen la que se utilizan potenciales naturales de variables literales un numero llamado coeficientelas unicas operaciones son el producto y la potencia.

resumen de monomios y polinomios

                              Monomios y polinomios

Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan potenciales naturales de variables literales, un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.
Un monomio posee una serie de elementos con denominación específica.
Dado el monomio  , se distinguen los siguientes elementos:
• signo: +
• coeficiente: 
• parte literal (exponente natural): 
• grado: 3
El signo se indica si es negativo (–). Se omite si es positivo (+) y si es el primer término positivo de un polinomio.
Cociente de dos monomios
El cociente de dos monomios será otro monomio sólo cuando la parte literal del dividendo es múltiplo de la parte literal del divisor.
Ejemplos

Monomios semejantes
Se llaman semejantes a los monomios que tienen la misma parte literal.

                   Polinomios.
es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como exponentes enteros positivos. En otras palabras, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.
Es frecuente el término polinomial, como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo en tiempo polinomial.
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son muy utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.
Polinomios de una variable
Para a0, …, an constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como  o  , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero, para n > 0, entonces un polinomio, P, de grado n en la variable x es un objeto de la forma

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por los términos del otro polinomio y se simplifican los monomios semejantes, posteriormente.
El grado de un monomio es su exponente. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. En el polinomio, existe el término independiente, que es un monomio que no tiene parte literal o variable, es decir, que no tiene variables o letras que lo acompañen.
Para factorizar un polinomio de segundo grado completo (con todos los términos) se divide por el inverso de una de sus raíces sumado con la incógnita, siendo los factores el número por el que dividimos y el resultado; ya que no hay resto, cumpliéndose así que dividendo = incógnita - divisor Χ cociente + resto, siendo este el resultado final hayado para completar la ecuación. En caso de que el polinomio no tenga término independiente se sacará la incógnita como factor común y ya está factorizado. También se puede factorizar usando las igualdades notables.
En un anillo conmutativo  una condición necesaria para que un monomio sea un factor de un polinomio de grado n > 1, es que el término independiente del polinomio sea divisible por la raíz del monomio:

Debe tenerse presente que el que un polinomio factorice o no depende de sobre qué anillos se considere la factorización, por ejemplo el polinomio X2-2 no factoriza sobre  pero sí factoriza sobre  :

Por otra parte X2+2 no factoriza ni sobre  , ni tampoco sobre  aunque factoriza sobre  :

aprende monomios y polinomios